Parametrizace obloukem Zdravím, chtěl bych Vás poprosit, zda byste mi někdo mohl trochu detailněji vysvětlit k čemu slouží parametrizace obloukem, popřípadě odkázat na nějaký kvalitní zdroj c(s) jedna parametrizace obloukem, pak kaˇzda´ jin´a parametrizace obloukem c(˜s) se z´ısk´a pomoc´ı reparametrizace tvaru s = ±s˜+s0, kde s0 je libovolna´ konstanta. Definice 1.6 Proorientovanou kˇrivkuc(s) parametrizovanou obloukem oznaˇcujeme vkaˇzd´em bodˇe jej´ı jednotkovy´ teˇcny´ vektor t(s) = c′(s). Mnoˇzinu c. Parametrizace oblouku jak při počítání hmotnosti křivky poloviny kružnice/elipsy správně určím parametrizaci oblouku? našel jsem, že by to mělo být u kružnice a u elipsy, ale narazil jsem i na příklady, kde to bylo opačně (
Kružnici (0, r) parametrizujte obloukem. Řešení Víme, že parametrické vyjádření kružnice je kde Pak dostáváme t = ( 1/r ) s a z toho plyne parametrizace obloukem ve tvaru. Tečna a normála Tečna Tečnu můžeme definovat jako přímku, která má s křivkou jeden společný bod dotyku s a z toho už plyne parametrizace obloukem ve tvaru x(s) = rcos 1 r s a y(s) = rsin 1 r s . 1.4. Tečný vektor a tečna křivky 8 Obrázek 1.4: Tečný vektor křivky 1.4 Tečný vektor a tečna křivky Z diferenciálního počtu je známo, že tečna je limitní polohou sečnyÿ. Definice 3. Vekto
parametrizace obloukem ˜sse zı´ska´ z jako s˜=±s +c, kde c je vhodna´ konstanta Zbyneˇk Sˇ ı´r (MU´UK) - Objekty geometricke´ho modelova´nı´ 17. brˇezna 2016 9 / 24. Jak parametrizovat kruzˇnici (oblouk)? Kruzˇnice x2 +y2 =1 se parametrizuje jako a =cosα, b =sinα Parametrizace délkou oblouku. Jak již bylo řečeno, pro křivku existují různé parametrizace. Speciální parametrizací je parametrizace podle délky oblouku (nebo délky dráhy - obloukem se myslí parametrizace, která měří délku vykonané dráhy), označovaná také jako přirozená parametrizace křivky Paprskovu rovnici je možno odvodit z eikonálové rovnice, případně z Fermatova principu.Tato rovnice popisuje šíření paprsku v prostředí s proměnným indexem lomu.Její tvar je = (), kde je přirozenou parametrizací trajektorie, tedy parametrizace obloukem.. Provedením derivace součinu je možno rovnici přepsat na tva Spádové plochy- spádový kužel, osový řez spádového kužele, tečné roviny spádového kužele, sestrojení roviny daného spádu, procházející danou přímkou, sestrojení plochy daného spádu, procházející danou křivkou. parametrizace obloukem, výpočet tečny křivky, Frenetův doprovodný trojhran, oskulační a
Je-li parametrizace dána polynomickýmiči racionálními funkcemi, lze k vyloučení 1.2 Délka křivky, evolventa, parametrizace obloukem 1. Spočtěte délku oblouku cykloidy r(t)=. Délka křivky, parametrizace obloukem. Frenetův repér a Frenetovy vzorce v rovině a v prostoru, křivost a torze. 2. Plochy v prostoru. Parametrické vyjádření plochy, příklady. Tečná rovina, normála. První a druhá základní forma plochy a jejich užití. Hlavní směry a hlavní křivosti plochy, střední a Gaussova křivost
Délka křivky, parametrizace obloukem. Frenetův repér a Frenetovy vzorce v rovině a v prostoru, křivost a torze. Parametrické vyjádření plochy, příklady. Tečná rovina, normála. První a druhá základní forma plochy a jejich užití. Střední a Gaussova křivost. Zobrazení mezi plochami (izometrie, konformní zobrazení) Evroý sociální fond Praha a EU - Investujeme do vaší budoucnosti Konoid 1 Řešení Konoid je dán eliptickým obloukem K, přímkou p a řídicí rovinou ν=(x,z). Sestrojte axonometrický průmět, půdorys, nárys a bokorys části plochy mezi K a p (pět přímek plochy). Vyznačte torzální přímku plochy, pokud existuje rametrizace k°ivky (parametrizace obloukem) a p°irozeného ortonormálního (Fre-netoa)v repéru podél k°ivky. yjád°eníV in nitezimální zm¥ny tohoto p°irozeného repéru vzhledem k p°irozené parametrizaci vede k systému (Frenetových) rovnic, jejichº koe cienty de nují podstatné inarianvty k°ivky. Odtud je hned patrné, º Parametrizace obloukem ma´ veliky´ teoreticky´ vy´znam, typicky ji vsˇak nen´ı mozˇno ex-plicitneˇ vyja´dˇrit pomoc´ı elementa´rn´ıchfunkc´ı,protozˇe nelze forma´lneˇ vyja´dˇrit integra´l (6), pˇr´ıpadneˇ jeho inverzn´ı funkci. Vyj´ımkou jsou silneˇ symetricke´ kˇrivky (pˇ´ımka, kruzˇnice Geometrie LS 2016/17 Zbynek Šírˇ Matematický ústav UK Matematicko-fyzikální fakulta Zbynek Šír (MÚ UK) - Geometrieˇ 1 / 10
NMAG204 GEOMETRIE STUDIJNÍ TEXT K PŘEDNÁŠCE JANRATAJ 1. Úvod 1.1. Eukleidovský prostor. Definice 1.1. n-rozměrný eukleidovský prostor je čtveřice (En,Vn,·,+), kde E 2 0.1 Úvod Hlavním tématem této přednášky je klasická geometrie křivek a ploch v R3. Hlavní zdroje, ze kterých vyrůstala diferenciální geometrie, jsou klasick 0.1.ÚVOD 3 možné najít ve skriptech J. Bureš, K. Hrubčík: Diferenciální geometrie křivek a ploch, Karolinum, Další příklady jsou obsaženy ve skriptec Globální vlastnosti rovinných k°ivek: rota£ní index De nice. Mnoºina C E 2 se nazývá vloºená k°ivka t°ídy Cr, r 1, jestliºe existuje regulární pohyb f : I !E 2 t°ídy Cr takový, ºe C = f(I) pro n¥jaký otev°ený interval I R. Vloºená k°ivka C E 2 se nazývá uzav°ená vloºená k°ivka t°ídy Cr, jestliºe existuje parametrizace f: [a;b] !
2 1. přednáška 0.1 Úvod Hlavním tématem této přednášky je klasická diferenciální geometrie křivek a ploch v R3.Přídavné jméno diferenciální znamená, že geom Pˇríklad 1.2. V této kapitole budeme vˇety a definice ilustrovat na p ˇríkladu parametrizace kružnice c(t) = 3cost 3sint pro t ∈ (−π,π) a její reparametrizace c(u) = 3 1+u2 1−u2 2u pro u ∈ (−∞,∞). Reparametrizace je tvaru u = tan t 2 a naopak t = 2arctanu. Poznámka Vektorová funkce a její složky v repéru, derivace vektorové funkce, nezávislost na počátku.4. Skalární součin vektorových funkcí, derivace skalárního součinu.5. Pohyb v prostoru Rn, regulární pohyb, jednoduchý pohyb, hladká křivka.6. Parametrizace křivky, parametrizace obloukem, tečna křivky, odchylka křivek, inflexní.
1.1. KØIVKY V RN A JEJICH PARAMETRIZACE 7 O1 O2 O3 a) O1 O2 O3 b) O1 O2 O3 c) O1 O2 O3 d) g1(b1) = g2(a2) g2(b2) = g3(a3) ˆ ObrÆzek 1.1: K de nici kłivky parametrizací obloukø tvołících kłivku K. Uvìdomme si, ¾e v de nici parametrizace kłivky nepo¾adujeme, aby intervaly hak;bkibyly pro røznÆ krøznØ.Je docela mo¾nØ, ¾e parametrizace vech obloukø vytvÆłejících kłivk Ch. Bär: Elementary Differential Geometry, Cambridge University Press, 2010 A. Pressley: Elementary Differential Geometry, Springer, 2010 L. Boček, V. Kubát. 4.1 Kłivkový integrÆl ve vektrovØm poli { płímým výpoŁtem 4.1 SpoŁítejte prÆci síly F~ = y¢~i + z¢~j + x¢~k płi pohybu hmotnØho bodu po orientovanØ kłivce °, kterÆ je dÆna jako oblouk ABC na prønikovØ kłivce ploch x2 +y2 = 1;z = xy od poŁÆteŁního bodu A = [1;yA;zA] płes bod B = [xB;1;zB] do koncovØho bodu C = [¡1;yC;zC]. [nezadanØ souładnice bodø A; B; C. ČeskévysokéučenítechnickévPraze Fakultajadernáafyzikálněinženýrská Analýza časových řad měřených silovou plošinou při studi
